환 (수학)

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1. 개요

환은 덧셈과 곱셈 연산을 가진 대수 구조로, 아벨 군과 모노이드의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 분배 법칙을 통해 호환된다. 환은 덧셈에 대해 아벨 군, 곱셈에 대해 모노이드를 이루며, 분배 법칙이 성립해야 한다. 정수, 유리수, 실수, 복소수 등은 환의 예시이며, 다항식환, 행렬환 등 다양한 종류의 환이 존재한다. 환의 개념은 19세기 후반에 도입되었으며, 대수적 정수 이론과 다항식환 연구에서 비롯되었다. 환은 가환환, 정역, 체 등으로 분류되며, 모형 이론적, 범주론적, 군론적, 격자 이론적 성질을 갖는다.

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환 (수학)
개요
분야	추상대수학
연구	환론
정의
연산	덧셈, 곱셈
항등원	덧셈의 항등원 (0), 곱셈의 항등원 (1) (필요에 따라)
공리	결합 법칙, 교환 법칙 (덧셈), 분배 법칙
성질
덧셈	아벨 군
곱셈	모노이드 (필요에 따라)
예시
기본적인 예시	정수의 집합 다항식의 집합 행렬의 집합
기타 예시	나머지류환 함수환 군환
관련 개념
상위 개념	대수 구조
하위 개념	가환환 정역 체
연관 개념	아이디얼 준동형 사상 가군

2. 정의

'''환'''(영어: ring)은 아벨 군과 모노이드의 구조를 동시에 가지며, 두 구조가 서로 호환되는 대수 구조이다. 구체적으로, 환 $(R,+,\cdot)$ 은 덧셈과 곱셈이라는 두 이항 연산

: $+\colon R\times R\to R$

: $\cdot\colon R\times R\to R$

을 갖추고, 다음 공리들을 만족시키는 집합이다.^[22]^[23]

$(R, +)$ 는 아벨 군을 이룬다.
$(R, \cdot)$ 은 모노이드를 이룬다.
덧셈과 곱셈 사이에는 분배 법칙이 성립한다.

환의 개념은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으나, 이들 정의들은 모두 서로 동치이다.

환은 정수환 $\mathbb Z$ 위의 단위 결합 대수이다.
아벨 군의 범주 $\operatorname{Ab}$ 는 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 범주론적으로, 환은 아벨 군의 모노이드 범주에서의 모노이드 대상이다.
환은 아벨 군의 모노이드 범주에 대하여 풍성한 범주 가운데, 하나의 대상을 갖는 것이다. 이 경우, 환의 원소들은 범주의 유일한 원소의 자기 사상들이다.

가장 잘 알려진 환의 예는 정수 집합이며, 다음과 같은 수로 구성된다.

:

\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots

환의 공리는 정수의 덧셈과 곱셈의 친숙한 속성을 일반화한 것이다.

2. 1. 환의 공리

환은 덧셈에 대해 아벨 군을 이루고, 곱셈에 대해 모노이드를 이루며, 덧셈과 곱셈 사이에 분배 법칙이 성립해야 한다.^[22]^[23]

(덧셈 결합 법칙) 임의의 $r,s,t\in R$ 에 대하여, $(r+s)+t=r+(s+t)$
(덧셈 교환 법칙) 임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, $r+s=s+r$
(덧셈 항등원의 존재) 임의의 $r\in R$ 에 대하여 $0_R+r=r$ 인 원소 $0_R\in R$ 가 존재한다.
(덧셈 역원의 존재) 임의의 $r\in R$ 에 대하여, $r+(-r)=0_R$ 인 원소 $-r\in R$ 가 존재한다.
(곱셈 결합 법칙) 임의의 $r,s,t\in R$ 에 대하여, $(rs)t=r(st)$
(곱셈 항등원의 존재) 임의의 $r \in R$ 에 대하여 $r1_R=r$ 인 원소 $1_R\in R$ 이 존재한다.
(오른쪽 분배 법칙) 임의의 $r,s,t\in R$ 에 대하여, $r(s+t)=rs+rt$
(왼쪽 분배 법칙) 임의의 $r,s,t\in R$ 에 대하여, $(s+t)r=sr+tr$

가장 잘 알려진 환의 예는 정수 전체가 이루는 집합 '''Z'''에, 일반적인 덧셈과 곱셈을 적용한 것이다. '''Z'''는 아래와 같은 "환의 공리계"라고 불리는 여러 성질을 만족한다.

정수의 집합에서의 기본 성질
	덧셈	곱셈
연산의 폐쇄성	a + b는 정수	a × b는 정수
결합성	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
교환성	a + b = b + a	a × b = b × a
항등원의 존재성	a + 0 = a (영원)	a × 1 = a (단위원)
역원의 존재성	a + (−a) = 0
colspan="3"\|
분배성	a × (b + c) = (a × b) + (a × c), 및 (a + b)× c = a × c + b × c

2. 2. 정의의 변형

일반적인 환에서는 곱셈 항등원이 존재해야 하지만, 이 조건을 생략하면 유사환 또는 rng이라는 개념을 얻는다. 일부 저자들은 곱셈 항등원의 존재를 가정하지 않고 모든 유사환을 "환"이라고 부르기도 한다.^[24]^[25]

한국에서는 곱셈 항등원의 존재를 가정하는 것이 일반적이다.

2. 3. 환 준동형

두 환

R

,

S

사이의 함수

f\colon R\to S

가 다음 두 조건들을 만족시킨다면, '''환 준동형'''이라고 한다.

$f$ 는 덧셈 군 준동형이다. 즉, 임의의 $r, s \in R$ 에 대하여, $f(r+s) = f(r) + f(s)$ 이다.
$f$ 는 곱셈 모노이드 준동형이다. 즉, 임의의 $r, s \in R$ 에 대하여 $f(rs) = f(r)f(s)$ 이며, $f(1) = 1$ 이다.

유사환을 사용한다면,

f(1)=1

일 필요는 없다. 따라서, 모든 환 준동형은 유사환 준동형이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.^[10]^[11]^[12]

환 준동형

f\colon R\to S

가 역함수인 환 준동형이 존재하거나, 전단사일 경우 '''동형사상'''이라고 한다.

'''예시:'''

각 정수 $x$ 를 $4$ 로 나눈 나머지( $\{0, 1, 2, 3\}$ 의 숫자)에 매핑하는 함수는 환 $\mathbb{Z}$ 에서 몫환 $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 로의 준동형이다.
$R$ 이 소수 표수 $p$ 의 가환환이면, $x \mapsto x^p$ 는 프로베니우스 준동형사상이라고 불리는 $R$ 의 환 자기 준동형이다.
모든 환 $R$ 에 대해, 유일한 환 준동형 $\mathbb{Z} \mapsto R$ 와 유일한 환 준동형 $R \to 0$ 가 있다.

환 준동형

f : R \to S

가 주어지면,

f

에 의해 0으로 매핑되는 모든 원소의 집합을

f

의 핵이라고 한다. 핵은

R

의 양쪽 아이디얼이다. 반면에

f

의 상은 항상 아이디얼은 아니지만, 항상

S

의 부분환이다.

2. 4. 부분환

환의 부분 집합

S\subseteq R

이 다음 두 조건을 만족하면 '''부분환'''(部分環, subring^영어)이라고 한다.

$S$ 는 덧셈 부분군을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
임의의 $s,s'\in S$ 에 대하여, $s+s'\in S$
임의의 $s\in S$ 에 대하여, $-s\in S$
$S$ 는 곱셈 부분 모노이드를 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
$1_R\in S$
임의의 $s,s'\in S$ 에 대하여, $ss'\in S$

즉, 부분환은 덧셈 부분군이자 곱셈 부분 모노이드인 부분 집합이다.

아이디얼은 전체 아이디얼이 아닐 경우 1을 포함하지 않으므로 부분환이 될 수 없다.

R

의 부분집합

S

는 다음의 동치 조건 중 하나라도 만족하면 부분환이라고 한다.

$R$ 의 덧셈과 곱셈을 $S$ 에 제한하여 연산 $S × S → S$ 을 정의하고, $S$ 를 $R$ 과 같은 곱셈 항등원을 갖는 환으로 만든다.
$1 ∈ S$ ; 그리고 $S$ 의 모든 $x, y$ 에 대해, 원소 $xy$ , $x + y$ , 및 $−x$ 가 $S$ 에 속한다.
포함 사상 $S → R$ 가 환 준동형 사상이 되도록 연산을 부여하여 $S$ 를 환으로 만들 수 있다.

예를 들어, 정수 환 ℤ^한국어는 실수 체의 부분환이며, 다항식 환 ℤ^한국어[X^영어]의 부분환이기도 하다(두 경우 모두 ℤ^한국어는 1^영어을 포함하며, 이는 더 큰 환의 곱셈 항등원이다). 반면에 짝수 정수의 부분집합 2ℤ^한국어는 항등원 1^영어을 포함하지 않으므로 ℤ^한국어의 부분환이 될 수 없다. 하지만 2ℤ^한국어는 부분 링(subrng)이라고 할 수 있다.^[1]

부분환들의 교집합은 부분환이다.

R

의 부분집합

E

가 주어지면,

E

를 포함하는

R

의 가장 작은 부분환은

E

를 포함하는 모든 부분환들의 교집합이며, 이를 '

E

에 의해 생성된 부분환'이라고 한다.

환

R

에 대해,

R

의 가장 작은 부분환을

R

의 '특성 부분환'이라고 한다. 이 부분환은 1^영어과 −1^영어의 복사본을 더하여 생성할 수 있다. 1^영어 = n · 1^영어 = 1 + 1 + ... + 1^영어 (n^영어번)이 0이 될 수 있다. 만약

n

이 이러한 현상이 발생하는 가장 작은 양의 정수이면,

n

을

R

의 표수라고 한다. 일부 환에서는 모든 양의 정수

n

에 대해 n · 1^영어이 결코 0이 되지 않으며, 이러한 환은 '표수 0'을 갖는다고 한다.

환

R

이 주어지면, Z(

R

)^영어는

R

의 모든 원소

x

의 집합을 나타내며, 여기서

x

는

R

의 모든 원소와 교환한다. 즉, 모든

R

의

y

에 대해 xy = yx^영어이다. 그러면 Z(

R

)^영어는

R

의 부분환이며, 이를

R

의 중심이라고 한다. 더 일반적으로,

R

의 부분집합

X

가 주어지면,

S

는

X

의 모든 원소와 교환하는

R

의 모든 원소의 집합이 된다. 그러면

S

는

R

의 부분환이며, 이를

X

의 중앙화 집합(또는 가환자)이라고 한다. 중심은 전체 환

R

의 중앙화 집합이다. 중심의 원소 또는 부분집합은

R

에서 '중앙'이라고 하며, (각각 개별적으로) 중심의 부분환을 생성한다.

2. 5. 가군과 아이디얼

환의 작용을 갖춘 아벨 군을 가군이라고 하며, 아이디얼은 가군의 특수한 경우이다. 아이디얼은 몫환을 정의하는 데 사용된다.

환

R

의 아이디얼

\mathfrak a\subseteq R

이 주어지면, 이에 대한 '''몫환'''

R/\mathfrak a

을 정의할 수 있다. 이는 군과 그 정규 부분군이 주어졌을 때, 몫군을 취할 수 있는 것과 마찬가지다.

군이나 모노이드가 집합 위에 왼쪽·오른쪽에서 작용할 수 있는 것처럼, 환의 경우 아벨 군 위에 왼쪽·오른쪽으로 작용할 수 있다. 이렇게 환의 (왼쪽·오른쪽) 작용을 갖춘 아벨 군을 '''왼쪽·오른쪽 가군'''이라고 한다. 왼쪽·오른쪽 아이디얼은 왼쪽·오른쪽 가군의 특수한 경우이다. 군의 작용과 환의 작용에 대하여 대략 다음과 같은 개념들이 대응된다.

군론	환론
군	환
군의 왼쪽·오른쪽 작용	왼쪽·오른쪽 가군
부분군	부분환
정규 부분군	양쪽 아이디얼
몫군	몫환
추이적 작용	순환 가군
안정자군	소멸자
충실한 작용	충실한 가군

$R$ 을 환이라고 하자. $R$ 의 '''왼쪽 아이디얼'''은 $R$ 의 공집합이 아닌 부분 집합 $I$ 로, $I$ 에 있는 임의의 $x, y$ 와 $R$ 에 있는 $r$ 에 대해, 원소 $x + y$ 와 $rx$ 가 $I$ 에 속하는 집합이다. 만약 $RI$ 가 $I$ 의 $R$ -스팬, 즉 유한 합의 집합을 나타낸다면

: $r_1 x_1 + \cdots + r_n x_n \quad \textrm{such}\;\textrm{that}\; r_i \in R \; \textrm{ and } \; x_i \in I,$

$I$ 는 $RI \subseteq I$ 일 경우 왼쪽 아이디얼이다. 유사하게, '''오른쪽 아이디얼'''은 $IR \subseteq I$ 인 부분 집합 $I$ 이다. 부분 집합 $I$ 가 '''양쪽 아이디얼''' 또는 간단히 '''아이디얼'''이라고 불리는 것은 왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼일 경우이다. 한쪽 아이디얼 또는 양쪽 아이디얼은 $R$ 의 가산 부분군이다. 만약 $E$ 가 $R$ 의 부분 집합이라면, $RE$ 는 $E$ 에 의해 생성된 왼쪽 아이디얼이라고 불리는 왼쪽 아이디얼이다. 그것은 $E$ 를 포함하는 가장 작은 왼쪽 아이디얼이다. 유사하게, $R$ 의 부분 집합에 의해 생성된 오른쪽 아이디얼 또는 양쪽 아이디얼을 고려할 수 있다.

만약 $x$ 가 $R$ 에 속한다면, $Rx$ 와 $xR$ 은 각각 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼이다. 그것들은 $x$ 에 의해 생성된 주 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼이라고 불린다. 주 아이디얼 $RxR$ 은 $(x)$ 로 표기한다. 예를 들어, 2의 양수 및 음수 배수와 0의 집합은 정수의 아이디얼을 형성하며, 이 아이디얼은 정수 2에 의해 생성된다. 사실, 정수환의 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다.

$R$ 의 부분 집합 $I$ 가 덧셈에 대해 닫혀 있고, $x \in R$ , $y \in I$ 이면 $xy$ 나 $yx$ 가 반드시 $I$ 에 속할 때, $I$ 를 양쪽 '''아이디얼'''이라고 한다. 아이디얼 $I$ 가 주어졌을 때, $x - y \in I$ 로 $R$ 에 동치 관계를 정의할 수 있다. 게다가 동치류 사이에 자연스러운 연산을 정의할 수 있고, 환이 됨을 알 수 있다. 이 환을 $R$ 의 $I$ 에 의한 '''잉여환'''이라고 하며, $R/I$ 로 표기한다.

3. 연산

주어진 환들로부터 새로운 환을 만드는 다양한 연산들이 존재한다.

환을 이용하여 새로운 환을 만들어내는 일반적인 방법은 다음과 같다.

몫환: 군의 몫군이나 선형대수학의 몫공간과 마찬가지로, 환론에서도 몫환의 개념을 정의할 수 있다. 환론에서 정규 부분군에 해당하는 대상은 양쪽 아이디얼이며, 이에 대한 몫환은 대략 아이디얼에 속한 원소를 모두 0으로 간주하여 얻는 환이다.

직접곱: 환의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 환들의 집합의 직접곱을 정의할 수 있다. 이는 환의 범주의 범주론적 곱을 이룬다. 이는 덧셈 아벨 군으로서는 아벨 군들의 직접곱이며, 곱셈 모노이드로서는 모노이드들의 직접곱이다.

다항식환: 환 $R$ 및 집합 $X=\{x_i\}_{i\in I}$이 주어졌을 때, $x_i$들을 $R$에 형식적 가환 변수로 간주하여 추가할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 환 $R[X]$를 $R$ 위의 다항식환이라고 한다. 만약 $R$가 가환환이라면 $R[X]$ 역시 가환환이다.^[14]

3. 1. 반대환

환

(R,+,\cdot)

이 주어졌을 때, 다음과 같은 새로운 곱셈 연산을 정의할 수 있다.

:

r\cdot's=s\cdot r\qquad\forall r,s\in R

이 경우

(R,+,\cdot')

은 환이 되며, 이를

R

의 '''반대환'''(反對環, opposite ring^영어)

R^{\operatorname{op}}

이라고 한다.

R^{\operatorname{op}}

는 덧셈 아벨 군으로는

R

와 같지만, 곱셈 모노이드로는

R

의 반대 모노이드이다.

환은 하나의 대상을 갖는, 아벨 군의 모노이드 범주 위 풍성한 범주로 생각할 수 있으며, 이는 반대 범주의 특수한 경우이다.

3. 2. 몫환

군의 몫군이나 선형대수학의 몫공간과 마찬가지로, 환론에서도 '''몫환'''(-環, quotient ring^영어)의 개념을 정의할 수 있다. 환론에서 정규 부분군에 해당하는 대상은 양쪽 아이디얼이며, 이에 대한 몫환은 대략 아이디얼에 속한 원소를 모두 0으로 간주하여 얻는 환이다.

환

R

및 그 속의 양쪽 아이디얼

\mathfrak a

이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

R

위에 다음과 같은 동치 관계

\sim

를 정의할 수 있다.

:

r\sim s\iff r-s\in\mathfrak a\qquad\forall r,s\in R

이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.

:

[r]_\sim = r+\mathfrak a=\{r+a\colon a\in\mathfrak a\}

R/\mathfrak a

는 이러한 동치류들의 집합이다. 그 위의 환의 연산은 다음과 같다.

:

(r+\mathfrak a)+(s+\mathfrak a)=(r+s)+\mathfrak a

:

(r+\mathfrak a)(s+\mathfrak a)=rs+\mathfrak a

이 연산들은 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다는 것을 아이디얼의 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 몫환에서는

0_{R/\mathfrak a}=0+\mathfrak a

이며,

1_{R/\mathfrak a}=1+\mathfrak a

이다.

몫환에 대하여, 표준적인 전사 환 준동형

:

R\twoheadrightarrow R/\mathfrak a

:

r\mapsto r+\mathfrak a

이 존재한다.

3. 3. 직접곱

환의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 환들의 집합의 '''직접곱'''을 정의할 수 있다. 이는 환의 범주의 범주론적 곱을 이룬다. 이는 덧셈 아벨 군으로서는 아벨 군들의 직접곱이며, 곱셈 모노이드로서는 모노이드들의 직접곱이다.

R과 S를 환이라고 하자. 그러면 곱 R × S는 다음과 같은 자연스러운 환 구조를 가질 수 있다.

:

\begin{align}& (r_1,s_1) + (r_2,s_2) = (r_1+r_2,s_1+s_2) \\& (r_1,s_1) \cdot (r_2,s_2)=(r_1\cdot r_2,s_1\cdot s_2)\end{align}

R의 모든 r₁, r₂와 S의 s₁, s₂에 대해, 덧셈과 곱셈 연산, 곱셈 항등원 (1, 1)을 갖는 환 R × S를 R과 S의 '''직적(direct product)'''이라고 한다. 동일한 구성은 환의 임의의 집합에 대해서도 작동한다. Rᵢ가 집합 I에 의해 인덱싱된 환이라면,

\prod_{i \in I} R_i

는 성분별 덧셈과 곱셈을 갖는 환이다.

R을 가환환이라고 하고

\mathfrak{a}_1, \cdots,  \mathfrak{a}_n

를 i ≠ j일 때

\mathfrak{a}_i +  \mathfrak{a}_j = (1)

을 만족하는 아이디얼이라고 하자. 그러면 중국인의 나머지 정리에 의해 다음의 표준적인 환 동형사상이 존재한다.

R /{\textstyle \bigcap_{i=1}^{n}{\mathfrak{a}_i}} \simeq \prod_{i=1}^{n}{R/ \mathfrak{a}_i}, \qquad x \bmod {\textstyle \bigcap_{i=1}^{n}\mathfrak{a}_i} \mapsto (x \bmod \mathfrak{a}_1, \ldots , x \bmod \mathfrak{a}_n).

"유한" 직적은 아이디얼의 직합으로도 볼 수 있다. 즉,

R_i, 1 \le i \le n

을 환으로 하고

R_i \to R = \prod R_i

를 이미지

\mathfrak{a}_i

를 갖는 포함 사상이라고 하자 (특히

\mathfrak{a}_i

는 부분환은 아니지만 환이다). 그러면

\mathfrak{a}_i

는 R의 아이디얼이며,

R = \mathfrak{a}_1 \oplus \cdots \oplus  \mathfrak{a}_n, \quad \mathfrak{a}_i \mathfrak{a}_j = 0, i \ne j, \quad \mathfrak{a}_i^2 \subseteq \mathfrak{a}_i

는 아벨 군의 직합이다 (아벨 군의 경우 유한 곱은 직합과 같기 때문이다). 분명히 이러한 아이디얼의 직합은 R과 동형인 환의 곱을 정의한다. 동등하게, 위는 중심 멱등원을 통해 수행될 수 있다. R이 위와 같은 분해를 갖는다고 가정하자. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

1 = e_1 + \cdots + e_n, \quad e_i \in \mathfrak{a}_i.

\mathfrak{a}_i

에 대한 조건에 의해 eᵢ는 중심 멱등원이며 1=eᵢeⱼ = 0, i ≠ j (직교)이다. 다시, 구성을 반대로 할 수 있다. 즉, 1의 직교 중심 멱등원에 대한 분할이 주어진다면

\mathfrak{a}_i = R e_i,

을 정의하는데, 이는 양쪽 아이디얼이다. 만약 각 eᵢ가 직교 중심 멱등원의 합이 아니라면, 그들의 직합은 R과 동형이다.

무한 직적의 중요한 응용은 환의 사영 극한의 구성이다 (아래 참조). 또 다른 응용은 환의 집합의 제한된 곱이다 (cf. 아델 환).

3. 4. 자유곱

환의 모임은 대수 구조 다양체이므로, 환들의 집합의 '''자유곱'''을 정의할 수 있다. 이는 환의 범주의 쌍대곱을 이룬다. 일반적으로, 환들의 자유곱은 매우 복잡하다.

가장 일반적인 환을 구성하는 방법은 생성자와 관계를 지정하는 것이다. F^영어를 기호 집합 X^영어를 가진 자유환(즉, 정수에 대한 자유 대수)이라고 하면, F^영어는 X^영어의 원소인 교환하지 않는 변수를 갖는 정수 계수를 가진 다항식으로 구성된다. 자유환은 보편적인 성질을 만족한다. 즉, 집합 X^영어에서 환 R^영어로의 모든 함수는 F^영어를 거쳐 F^영어 → R^영어이 유일한 환 준동형 사상이 되도록 한다. 그룹의 경우와 마찬가지로 모든 환은 자유환의 몫으로 표현될 수 있다.

이제, 몫을 취하여 X^영어의 기호 간의 관계를 부과할 수 있다. 구체적으로, E^영어가 F^영어의 부분 집합이면, E^영어에 의해 생성된 아이디얼에 대한 F^영어의 몫환을 생성자 X^영어와 관계 E^영어를 갖는 환이라고 한다. 만약 Z^영어 대신 환 A^영어를 기본 환으로 사용한다면, 결과 환은 A^영어 위에 있게 된다. 예를 들어,

E = \{ xy - yx \mid x, y \in X \}

이면, 결과 환은 X^영어의 원소인 변수를 갖는 A^영어 계수를 가진 일반적인 다항식 환이 된다. (이것은 기호 X^영어를 갖는 A^영어 위의 대칭 대수와 동일하다.)

범주론적 용어로,

S \mapsto \text{집합 } S \text{에 의해 생성된 자유환}

형성은 환의 범주에서 '''Set'''로의 망각 함자의 좌측 인접 함자이다 (그리고 종종 자유환 함자라고 불린다).

A^영어, B^영어를 가환환 R^영어 위의 대수라고 하자. 그러면 R^영어-모듈의 텐서곱

A \otimes_R B

는

(x \otimes u) (y \otimes v) = xy \otimes uv

로 특징지어지는 곱셈을 갖는 R^영어-대수이다.

3. 5. 다항식환

환 $R$ 및 집합 $X=\{x_i\}_{i\in I}$이 주어졌을 때, $x_i$들을 $R$에 형식적 가환 변수로 간주하여 추가할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 환 $R[X]$를 $R$ 위의 '''다항식환'''(polynomial ring^영어)이라고 한다. 만약 $R$가 가환환이라면 $R[X]$ 역시 가환환이다.^[14]

기호 (변수라고 함)와 가환환 $R$이 주어지면, 다항식 집합

:

R[t] = \left\{ a_n t^n + a_{n-1} t^{n -1} + \dots + a_1 t + a_0  \mid n \ge 0, a_j \in R \right\}

는 일반적인 덧셈과 곱셈으로 가환환을 형성하며, $R$을 부분환으로 포함한다. 이것을 $R$에 대한 다항식환이라고 한다. 더 일반적으로, 변수

t_1, \ldots, t_n

의 모든 다항식 집합

R\left[t_1, \ldots, t_n\right]

은 가환환을 형성하며,

R\left[t_i\right]

을 부분환으로 포함한다.

만약 $R$이 정역이면, $R[t]$ 또한 정역이며, 그 분수체는 유리 함수의 체이다. 만약 $R$이 뇌터 환이면, $R[t]$은 뇌터 환이다. 만약 $R$이 고유 인수 분해 정역이면, $R[t]$은 고유 인수 분해 정역이다. 마지막으로, $R$은 $R[t]$가 주 아이디얼 정역일 때 그리고 그 때만 체이다.

R \subseteq S

를 가환환이라고 하자. $S$의 원소 $x$가 주어지면, 다음과 같은 환 준동형 사상을 고려할 수 있다.

:

R[t] \to S, \quad f \mapsto f(x)

(즉, 대입). 만약 $S = R[t]$이고 $x = t$이면, $f(t) = f$이다. 이 때문에 다항식 $f$는 종종 $f(t)$로도 표기된다. 사상 $f \mapsto f(x)$의 이미지는 $R[x]$로 표기하며, 이것은 $R$과 $x$에 의해 생성된 $S$의 부분환과 같다.

예시:

k\left[t^2, t^3\right]

는 준동형 사상의 이미지를 나타낸다.

:

k[x, y] \to k[t], \, f \mapsto f\left(t^2, t^3\right).

다시 말해, $t^2$와 $t^3$에 의해 생성된 $k[t]$의 부분 대수이다.

예시: $f$가 한 변수의 다항식, 즉 다항식환 $R[t]$의 원소라고 하자. 그러면 $f(x+h)$는 $R[h]$의 원소이고, $f(x+h) - f(x)$는 그 환에서 $h$로 나누어진다. $(f(x+h) - f(x))/h$에 $h$에 $0$을 대입한 결과는 $f'(x)$인데, 이것은 $x$에서의 $f$의 도함수이다.

대입은 다항식환의 보편적인 성질의 특별한 경우이다. 이 성질은 다음과 같이 진술한다. 환 준동형 사상 $\phi: R \to S$와 $S$의 원소 $x$가 주어지면, $\overline{\phi}(t) = x$이고 $\overline{\phi}$가 $\phi$로 제한되는 유일한 환 준동형 사상 $\overline{\phi}: R[t] \to S$가 존재한다. 예를 들어, 기저를 선택하면, 대칭 대수는 보편적인 성질을 만족하므로 다항식환이다.

예를 들어, $S$를 $R$에서 자신으로 가는 모든 함수의 환이라고 하자. 덧셈과 곱셈은 함수의 연산과 같다. $x$를 항등 함수라고 하자. $R$의 각 $r$은 상수 함수를 정의하며, 이에 의해 준동형 사상 $R \to S$가 발생한다. 보편적인 성질은 이 사상이 다음과 같이 고유하게 확장된다고 말한다.

:

R[t] \to S, \quad f \mapsto \overline{f}

($t$는 $x$로 사상됨) 여기서 $\overline{f}$는 $f$에 의해 정의된 다항 함수이다. 결과적인 사상은 $R$이 무한일 때만 단사 함수이다.

($R$, +, '''·''')을 환으로 하고, ''R'' 위의 실질 유한 수열((수학)|유한 개를 제외한 모든 것]]의 항이 0이 되는 무한 수열) 전체를

:

S = \{ (f_i)_{i \in \mathbb{N}} \: f_i \in R \text{ and } f_i = 0 \text{ for all but finitely many } i \in \mathbb{N} \}

으로 둔다. 단, 여기서는 음이 아닌 정수(특히 0을 포함)의 의미로 '''N'''을 사용하기로 한다. ''S''의 연산 + : ''S'' × ''S'' → ''S'' 및 '''·''' : ''S'' × ''S'' → ''S''를, ''a'' = ($a_i$)$_{i \in \mathbb{N}}$ 및 ''b'' = ($b_i$)$_{i \in \mathbb{N}}$를 ''S''의 임의의 원소로 하여,

:

\begin{align}a +_S b &= (a_i +_R b_i)_{i \in \mathbb{N}}\\a \cdot_S b &= \Bigl(\textstyle\sum\limits_{j=0}^i a_j \cdot_R b_{i-j}\Bigr)_{i \in \mathbb{N}}\end{align}

로 정의하면, (''S'', +, '''·''')는 환이 된다. 이를 환 ''R'' 위의 '''다항식환'''이라고 부른다.

''S''의 원소 (0, 1, 0, 0, …)을 ''X''로 하면, 다항식환으로서의 ''S''는 ''R''[''X'']로 쓰는 것이 일반적이다. 이에 따라, ''S''의 원소 ''f'' = ($f_i$)$_{i \in \mathbb{N}}$는

:

f = \textstyle\sum\limits_{c \in C} f_c \cdot_S X^c,\quad C = \{i \in \mathbb{N}: f_i \neq 0\}

과 같이 ''R''에 계수를 갖는 다항식의 형태로 쓸 수 있다. 따라서 ''S''는 ''R'' 위의 ''X''를 부정원으로 하는 다항식 전체에, 표준적인 방법으로 덧셈과 곱셈을 정의한 것으로 간주할 수 있다. 일반적으로 이를 동일시하여, 여기서 말하는 ''S''를 ''R''[''X'']로 쓰고, ''R''에서의 연산도 ''S''에서의 연산도 특히 식별하기 위한 부호를 생략한다.

4. 성질

환은 여러 가지 성질을 갖는다.

체의 정사각 행렬 집합은 행렬 덧셈과 행렬 곱셈 연산을 통해 환의 공리를 만족시킨다. 예를 들어, 체 $F$ 에 속하는 2x2 정사각 행렬의 집합은 다음과 같다.

: $\operatorname{M}_2(F) = \left\{ \left.\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right|\ a, b, c, d \in F \right\}.$

이 집합에서 $\left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ 는 곱셈 항등원이다. 그러나 $AB = \left( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$ 이고 $BA = \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \right)$ 인 경우처럼, 행렬환은 가환적이지 않다.

벡터 공간을 일반화한 '환 위의 모듈'은 환의 원소와의 곱셈을 통해 정의된다. 환 $R$ 위의 왼쪽 모듈 $M$ 은 다음 공리를 만족하는 아벨 군이다.

: $\begin{align}& a(x+y) = ax+ay \\& (a+b)x = ax+bx \\& 1x = x \\& (ab)x = a(bx)\end{align}$

여기서 $a, b \in R$ 이고 $x, y \in M$ 이다. 오른쪽 모듈은 $ax$ 대신 $xa$ 를 사용하며, 마지막 공리는 왼쪽 곱셈을 사용하는 경우 $(ab)x = b(ax)$ 가 된다.

모듈의 이론은 벡터 공간보다 복잡하며, 모든 모듈이 기저를 갖는 것은 아니다. 환 준동형 사상 $f: R \to S$ 는 $rs = f(r)s$ 곱셈을 통해 $S$ 를 $R$ 위의 왼쪽 모듈로 만든다. $R$ 이 가환환이거나 $f(R)$ 이 $S$ 의 중심에 포함되면, $S$ 는 $R$ -대수라고 불린다.

환을 이용하여 새로운 환을 만드는 방법에는 여러 가지가 있다.

4. 1. 기초적 성질

환의 덧셈 및 곱셈 항등원, 덧셈 역원의 유일성, 영인자와 가역원의 성질 등은 다음과 같다.

환 $R$ 의 덧셈 항등원, 곱셈 항등원은 유일하다.
환 $R$ 의 각 원소의 덧셈 역원은 유일하다.
$0r=r0=0$ 이다.
증명: $0r=0r+0(r-r)=(0+0)r-0r=0r-0r=0$ 이며, 마찬가지로 $r0=r0+(r-r)0=r(0+0)-r0=r0-r0=0$ 이기 때문이다.
$(-1)r=r(-1)=-r$ 이다.
증명: $r+(-1)r=1r+(-1)r=(1-1)r=0$ 이므로, 덧셈 역원의 정의에 따라 $(-1)r=-r$ 이다. $r(-1)=-r$ 도 마찬가지다.
$(-r)s=r(-s)=-(rs)=(-1)rs$ 이다. 이는 위 성질과 곱셈의 결합 법칙으로부터 자명하다.
$r$ 와 $s$ 가 가역원이라면, $rs$ 역시 가역원이며, 그 역원은 $(rs)^{-1}=s^{-1}r^{-1}$ 이다. 따라서 가역원들의 집합은 가역원군이라는 군을 이룬다.
증명: 결합 법칙에 따라서 $(rs)(s^{-1}r^{-1})=r(ss^{-1})r^{-1}=rr^{-1}=1$ 이다. 마찬가지로 $(s^{-1}r^{-1})(rs)=1$ 이다.

환 가운데,

0=1

인 것은 자명환밖에 없다. 이는 임의의 원소

r

에 대하여

r=1r=0r=0

이기 때문에, 원소가 0밖에 없기 때문이다.

환의 경우, 다른 대수 구조와 마찬가지로 준동형 정리와 동형 정리가 성립한다.

환

R

의 원소

a

가 영인자라는 것은,

R

의 영이 아닌 원소

b

가 존재하여

ab=0

을 만족하는 것이다.

4. 2. 범주론적 성질

환과 환 준동형은 범주를 이루며, 이는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.

범주론의 개념	환론의 개념
시작 대상	정수환 $\mathbb Z$
끝 대상	자명환 $0$
곱	직접곱 $\prod_{i\in I}R_i$
쌍대곱	환의 자유곱
동등자	집합과 함수의 범주에서의 동등자
쌍대동등자	$f,g\colon R\to S$ 의 쌍대동등자는 아이디얼 $(f(r)-g(r)\colon r\in R)\subseteq S$ 에 대한 몫환이다.
단사 대상	자명환 $0$
모노이드 대상	가환환
단사 사상	단사 함수인 환 준동형
전사 사상	(복잡함)^[26]

특히, 환의 전사 사상은 전사 함수일 필요가 없다. 하지만 반대로 전사 함수인 환 준동형은 항상 환의 전사 사상이다.

모든 환은 아벨 군의 범주 '''Ab'''에서 모노이드로 생각할 수 있다. 여기서 아벨 군 범주는 텐서곱에 의해 모노이드 범주로 간주된다. 환 $R$ 의 아벨 군에 대한 모노이드 작용은 단순히 $R$ -가군이다. 본질적으로, $R$ -가군은 벡터 공간의 개념을 일반화한 것으로, 체 위의 벡터 공간 대신 "환 위의 벡터 공간"을 갖는 것이다.

4. 2. 1. 함자

환의 범주

\operatorname{Ring}

은 아벨 군의 범주, 모노이드의 범주, 집합의 범주로 가는 충실한 망각 함자를 갖는다. 이들은 각각 곱셈과 덧셈을 잊는다.

:

A\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Ab}

:

M\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Mon}

이 두 함자는 모두 왼쪽 수반 함자를 갖는다.

$A$ 의 왼쪽 수반 함자는 아벨 군 $G$ 를 (정수환 위의 가군으로 생각하여) 그 텐서 대수 $\operatorname T(G)$ 에 대응시킨다.
$M$ 의 왼쪽 수반 함자는 모노이드 $M$ 을 정수 계수의 모노이드 환 $\mathbb Z[M]$ 에 대응시킨다.

이들은 다른 함자와 다음과 같이 합성할 수 있다.

군에서 모노이드로 가는 망각 함자 $F\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Mon}$ 는 왼쪽 및 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이 가운데 왼쪽 수반 함자는 모노이드를 그 가역원군으로 대응시킨다. 이를 환에서 모노이드로 가는 망각 함자와 합성하면, 가역원군 함자 $\operatorname{Unit}\colon\operatorname{Ring}\to\operatorname{Grp}$ 를 얻는다. 이는 (정의에 따라) 왼쪽 함자를 가지며, 이는 군 $G$ 를 정수 계수 군환 $\mathbb Z[G]$ 에 대응시킨다.
아벨 군의 범주와 모노이드의 범주 둘 다 구체적 범주이므로, 집합의 범주로 가는 망각 함자를 얻는다. 이를 합성하면, 환의 범주에서 집합의 범주로 가는 망각 함자 $\operatorname{Ring}\to\operatorname{Set}$ 를 얻어, 환의 범주 역시 구체적 범주를 이룬다. 이 망각 함자의 왼쪽 수반 함자는 집합 $S$ 를 정수 계수 비가환 다항식환 $\mathbb Z\langle S\rangle$ 에 대응시킨다. 이는 $S$ 위의 자유 아벨 군의 텐서 대수 $\operatorname T(\mathbb Z^{\oplus|S|})$ 와 같으며, $S$ 위의 자유 모노이드의 정수 계수 모노이드 환과도 같다.

4. 3. 군론적 성질

환의 덧셈군은 아벨 군이다. 유한 생성 아벨 군 위에는 항상 환 구조가 존재한다.^[28] 임의의 유한 생성 아벨 군은 유한 개의 소수 거듭제곱 크기의 순환군 및 유한 개의 무한 순환군들의 직합이다.

:

\operatorname{Cyc}(\infty)^{\oplus n_0}\bigoplus_i\operatorname{Cyc}(p_i^{n_i})

이 아벨 군은 다음 환의 덧셈군이다.

:

\mathbb Z^{\oplus n_0}\bigoplus_i\mathbb Z/(p_i^{n_i})

예를 들어, 환의 표수는 덧셈군만으로 정의할 수 있으며, 환의 일부 아이디얼들의 존재 역시 유추할 수 있다.

유한환의 분류에 따라, 순환군

\operatorname{Cyc}(n)

위의 가능한 환 구조는 정수환의 몫환

\mathbb Z/(n)

밖에 없다.

\operatorname{Cyc}(n)=\langle a|na=0\rangle

이라고 놓으면,

k\mid n

에 대응하는 유사환은

a^2=ka

이다.^[27]^[28] 일반적으로,

\operatorname{Cyc}(n)

위의 가능한 유사환 구조들은

n

의 양의 약수들과 일대일 대응한다.

무한 순환군

\operatorname{Cyc}(\infty)

위의 가능한 환 구조는 정수환

\mathbb Z

밖에 없다. 일반적으로,

\mathbb Z

위의 가능한 유사환 구조들은 음이 아닌 정수들과 일대일 대응하며, 구체적으로 정수환의 아이디얼

(n)\subseteq\mathbb Z

과 동형이다.^[28]

꼬임 아벨 군

G

에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.^[28]

원소들의 차수가 유계이다. 즉, $\textstyle\sup_{g\in G}\min\{n\in\mathbb Z^+\colon ng=0\}<\infty$ 이다.
$G$ 를 덧셈군으로 하는 환이 적어도 하나 존재한다.

예를 들어, 덧셈군

\mathbb Q/\mathbb Z

이나 프뤼퍼 군 위에는 환 구조가 존재하지 않는다. 임의의 아벨 군에 대하여 이를 덧셈군으로 하는 유사환은 항상 존재한다. (아벨 군에 모든 곱이 0인 곱셈을 주면 된다.)

임의의 환

R

에 대하여, 그 가역원군

\operatorname{Unit}(R)

은 군을 이룬다. 군

G

에 대하여, 군환

\mathbb Z[G]

의 가역원군은

G

를 부분군으로 갖는다.

:

G\subseteq\operatorname{Unit}(\mathbb Z[G])

소수 크기의 유한 순환군

\operatorname{Cyc}(p)

에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[28]

$p=2$ 이거나, $p=2^n-1$ 의 꼴이다.
가역원군이 $\operatorname{Cyc}(p)$ 인 환이 존재한다.

4. 4. 모형 이론적 성질

환은 다음과 같은 연산들을 갖춘 대수 구조이다.

두 개의 이항 연산 ( $+$ , $\cdot$ )
한 개의 1항 연산 ( $-$ )
두 개의 0항 연산 ( $0$ , $1$ )

환들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. (반면, 예를 들어 체의 모임은 역수 조건이 대수적이지 않으므로 대수 구조 다양체를 이루지 않는다.)

환의 대수 구조 다양체에서, (보편 대수학적) 준동형은 통상적인 환 준동형과 같으며, 부분 대수는 통상적인 부분환과 같으며, 단순 대수는 통상적인 단순환과 같다.

환의 대수 구조 다양체에서, 합동 관계는 양쪽 아이디얼과 같다. 구체적으로, 환

R

의 합동 관계들의 집합과 양쪽 아이디얼들의 집합 사이에는 일대일 대응이 존재하며, 합동 관계

\sim

에 대응하는 아이디얼은 0과 합동인 원소들의 집합

\{r\colon r\sim0\}

이다.^[29]

4. 5. 격자 이론적 성질

환

R

의 양쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합

(\operatorname{Ideal}(R),\subseteq)

은 완비 모듈러 격자를 이룬다.^[29] 이 격자에서 만남

\wedge

은 두 양쪽 아이디얼의 교집합이며, 이음

\vee

는 두 양쪽 아이디얼의 합 아이디얼이다.

:

\mathfrak a\wedge\mathfrak b=\mathfrak a\cap\mathfrak b

:

\mathfrak a\vee\mathfrak b=\mathfrak a+\mathfrak b

아이디얼의 격자가 분배 격자인 환은 '''산술환'''(arithmetical ring^영어)이라고 한다.

마찬가지로,

R

의 모든 왼쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합이나, 오른쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합 역시 완비 모듈러 격자를 이룬다. (이는 모든 가군의 부분 가군 격자가 완비 모듈러 격자라는 정리의 특수한 경우이다.)

또한,

R

의 유한 생성 양쪽 아이디얼들의 부분 순서 집합은 모듈러 이음 반격자(modular join-semilattice^영어)를 이룬다.^[30]

5. 종류

다양한 종류의 환들이 존재하며, 이들 사이에는 특별한 관계가 있다.^[31]

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
좌·우 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

뇌터 환은 "지나치게 크지 않은" 환이며, 아르틴 환은 "매우 작은 (0차원)" 환이다. 모든 아르틴 환은 뇌터 환이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

다음은 몇 가지 환(정역, 체)의 클래스에 대한 포함 관계이다.

'''가환환''' ⊃ '''정역''' ⊃ 반분해 정역 ⊃ '''고유 인수 분해 정역''' ⊃ '''주 아이디얼 정역''' ⊃ '''유클리드 정역''' ⊃ '''체'''

체와 정역은 현대 대수학에서 매우 중요하다.

5. 1. 가환환

곱셈에 대해 교환 법칙이 성립하는 환을 '''가환환'''이라고 한다. 가환환의 경우 다양한 특수한 개념들이 존재한다. 특히, 모든 체는 가환환이다.

가장 친숙한 환의 예는 모든 정수의 집합이며 다음과 같은 수로 구성된다.

:

\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots

정수의 덧셈과 곱셈의 친숙한 속성을 일반화 한 것이 환의 공리이다.

정수의 집합에서의 기본 성질
	덧셈	곱셈
연산의 폐쇄성	a + b는 정수	a × b는 정수
결합성	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
교환성	a + b = b + a	a × b = b × a
항등원의 존재성	a + 0 = a (영원)	a × 1 = a (단위원)
역원의 존재성	a + (−a) = 0
colspan="3"\|
분배성	a × (b + c) = (a × b) + (a × c), 및 (a + b)× c = a × c + b × c

곱셈이 교환 법칙을 만족하므로, 정수 전체는 가환환이다.

유리수, 실수 및 복소수는 체라고 하는 가환환의 한 종류이다.

가환환 위의 단위 결합 대수는 자체적으로 환이자 -가군이다. 예를 들면 다음과 같다.

다항식의 대수 .
형식적 멱급수의 대수.
실수선에서 정의된 모든 연속 실수 값 함수의 집합은 가환 -대수를 형성한다. 연산은 함수의 점별 덧셈과 곱셈이다.
를 집합으로, 을 환으로 두면, 에서 까지의 모든 함수의 집합은 환을 형성하며, 이 가환이면 이 환도 가환이다.

이차 정수 환도 가환환의 한 예이다.

5. 1. 1. 정역

가환환이면서 영인자를 갖지 않는 환을 정역이라고 한다. 정수환이 대표적인 예이다.

환 (''R'', +, '''·''' )이 '''정역'''이란 (''R'', +, '''·''' )가 가환환이고, 영인자를 갖지 않는다는 것을 말한다.

정수 전체가 이루는 집합 '''Z'''는 통상적인 덧셈과 곱셈에 관해 정역을 이룬다.
임의의 체는 정역이며, 임의의 정역은 가환환이다. 사실 유한 정역은 반드시 체를 이룬다.

5. 1. 2. 체

Field^영어는 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환이다. 유리수, 실수, 복소수 등은 체의 예이다. 가환환인 나눗셈환은 체와 같다.

다음은 환, 정역, 그리고 체 사이의 관계를 설명하는 부분 클래스 (집합론) 포함 관계의 사슬이다.

5. 2. 나눗셈환

덧셈에 대한 항등원 0을 제외한 모든 환의 원소가 곱셈에 대한 역원을 가지고 있다면 이를 '''나눗셈환'''이라고 부른다. 가환환인 나눗셈환은 체와 같다.^[17] 슈어의 보조정리에 따르면 U가 단순 오른쪽 R-가군이면, End_R(U)는 나눗셈환이다.^[18]

나눗셈환은 0이 아닌 모든 원소가 가역원인 환이다. 가환 나눗셈환은 체이다. 체가 아닌 나눗셈환의 대표적인 예는 사원수 환이다. 나눗셈환의 모든 중심화 부분환은 또한 나눗셈환이다. 특히, 나눗셈환의 중심은 체이다. 모든 ''유한'' 정역(특히 유한 나눗셈환)은 체임이 밝혀졌다. 특히 가환이다(웨더번의 소정리).^[19]

나눗셈환 위의 모든 가군은 자유 가군(기저를 가짐)이므로, 선형대수의 상당 부분은 체 대신 나눗셈환 위에서 수행될 수 있다.

켤레류에 대한 연구는 나눗셈환의 고전적 이론에서 두드러지게 나타난다. 예를 들어, Cartan–Brauer–Hua 정리를 참조하라.

L. E. Dickson에 의해 소개된 순환 대수는 사원수 대수의 일반화이다.

5. 3. 반단순환

'''반단순 가군'''은 단순 가군의 직합이다. '''반단순환'''은 자신을 모듈로 하는 좌 가군(또는 우 가군)으로서 반단순인 환이다.

나눗셈 환은 반단순환(그리고 단순환)이다.
임의의 나눗셈 환 D^영어와 양의 정수 n^영어에 대해, 행렬 환 M^영어(''D'')는 반단순환(그리고 단순환)이다.
체 k^영어와 유한군 G^영어에 대해, 군환 kG^영어는 k^영어의 표수가 G^영어의 차수를 나누지 않을 때에만 반단순환이다.(마슈케 정리)
클리퍼드 대수는 반단순환이다.

체 위의 바일 대수는 단순환이지만, 반단순환은 아니다. 다변수 미분 연산자 환도 마찬가지이다.

반단순환 위의 모든 가군은 반단순 가군이다. (증명: 반단순환 위의 자유 가군은 반단순 가군이며 모든 가군은 자유 가군의 몫이다.)

환 R^영어에 대해, 다음은 동치이다.

R^영어은 반단순환이다.
R^영어은 아르틴 환이고 반원시 환이다.
R^영어은 유한한 직접곱 \prod_{i=1}^r \operatorname{M}_{n_i}(D_i) 이며, 여기서 각 n^영어는 양의 정수이고 각 D^영어는 나눗셈환이다 (아르틴-베더번 정리).

반단순성은 분해 가능성과 밀접하게 관련되어 있다. 체 k^영어 위의 단위 결합 대수 A^영어는 모든 체 확대 F^영어 / k^영어에 대해 기저 확장 A ⊗ F가 반단순이면 분해 가능이라고 한다. A^영어가 체인 경우, 이는 체론에서의 일반적인 정의와 동치이다 (cf. 분해 가능 확대.)

5. 4. 중심 단순 대수와 브라우어 군

Skolem–Noether 정리에 따르면, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형 사상은 내부적이다.^[1]

두 중심 단순 대수 와 에 대해, 정수 과 이 존재하여

A \otimes_k k_n \approx B \otimes_k k_m

이 성립하면 "유사하다"고 한다.^[1]

k_n \otimes_k k_m \simeq k_{nm}

이므로 유사성은 동치 관계이다.^[1] 곱셈

[A][B] = \left[A \otimes_k B\right]

을 갖는 유사성 클래스 는 의 브라우어 군을 형성하며, 로 표시된다.^[1] Artin–Wedderburn 정리에 의해, 중심 단순 대수는 사환환의 행렬 링이다.^[1] 따라서 각 유사성 클래스는 고유한 사환환으로 표현된다.^[1]

예를 들어, 가 유한 체 또는 대수적으로 닫힌 체(더 일반적으로 준 대수적으로 닫힌 체; Tsen 정리 참조)인 경우 는 자명하다.^[1]

\operatorname{Br}(\R)

는 차수가 2이다(Frobenius 정리의 특수한 경우).^[1] 가 비아르키메데스 국소체인 경우(예: ),

\operatorname{Br}(k) = \Q /\Z

는 불변 맵을 통해 얻어진다.^[1]

가 의 체 확장인 경우, 기저 확장

- \otimes_k F

는 를 유도한다.^[1] 그 커널은 로 표시된다.^[1] 이는

A \otimes_k F

가 위의 행렬 링인 로 구성된다(즉, 는 에 의해 분할된다).^[1] 확장이 유한이고 갈루아인 경우 는

H^2\left(\operatorname{Gal}(F/k), k^*\right)

에 정규적으로 동형이다.^[1]

Azumaya 대수는 중심 단순 대수의 개념을 가환 국소 링으로 일반화한다.^[1]

5. 5. 값매김환

값매김은 곱셈군 K^*에서 전순서 아벨군 G로의 군 준동형사상으로, f, g는 K의 원소이고 f + g가 0이 아닐 때, v(f + g) ≥ min{v(f), v(g)}를 만족한다. v의 값매김환은 0과 v(f) ≥ 0을 만족하는 모든 0이 아닌 f로 구성된 K의 부분환이다.

예시는 다음과 같다.

체 k에 대한 형식적 로랑 급수 k((t))의 체는 v(f)가 f에서 0이 아닌 항의 가장 작은 차수인 값매김 v를 갖는다. v의 값매김환은 형식적 멱급수환 kt이다.
더 일반적으로, 체 k와 전순서 아벨군 G가 주어지면, k((G))를 지지(함수가 0이 아닌 점의 집합)가 정렬 가능 집합인 G에서 k로 가는 모든 함수의 집합으로 한다. 이는 합성곱으로 곱셈이 정의된 체이다: (f*g)(t) = Σ_{s∈G} f(s)g(t - s). 또한 v(f)가 f의 지지에서의 가장 작은 원소인 값매김 v를 갖는다. 유한 지지를 가진 원소로 구성된 부분환은 G의 군환이라고 불린다 (이는 G가 가환적이지 않더라도 의미가 있다). 만약 G가 정수의 환이면, 이전 예제를 얻는다 (f를 n번째 계수가 f(n)인 급수와 동일시함으로써).

6. 분류

모든 환을 분류하는 것은 현재 수학으로서는 불가능하다. 다만, 일반적인 환에 대해 다음과 같은 대략적인 구조론이 존재한다.^[31]

임의의 환은 제이콥슨 근기에 대한 몫환으로 분해되며, 이 몫환은 항상 반원시환이다.
모든 반원시환은 왼쪽 원시환들의 직접곱의 부분환으로 나타내어진다.
모든 왼쪽 원시환은 나눗셈환 위의 자유 가군의 선형 변환환의 조밀 집합인 부분환이다. ('''제이콥슨 조밀성 정리''')
모든 나눗셈환 $D$ 에 대하여, 그 중심 $Z(D)$ 는 체를 이루며, $D$ 는 체 $Z(D)$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

특수한 종류의 환은 (거의) 완벽하게 분류할 수 있다. 예를 들어, 많은 종류의 유한환은 완전히 분류되었고, 아르틴 단순환 및 반단순환 역시 완전히 분류되었다 ('''아르틴-웨더번 정리''').

6. 1. 제이콥슨 근기와 반원시환

임의의 환은 그 제이콥슨 근기에 대한 몫환으로 분해될 수 있으며, 이 몫환은 항상 반원시환이다.^[31]

6. 2. 원시환

반원시환은 왼쪽 원시환들의 직접곱의 부분환으로 나타낼 수 있다.^[31]

6. 3. 제이콥슨 조밀성 정리

모든 왼쪽 원시환

R

는 나눗셈환

D

위의 자유 가군

V

의 선형 변환환

\operatorname{End}_DV

의 (적절한 위상에서의) 조밀 집합인 부분환

R\subseteq\operatorname{End}_DV

이다. ('''제이콥슨 조밀성 정리''')^[31]

6. 4. 아르틴-웨더번 정리

아르틴 단순환 및 반단순환은 나눗셈환 위의 행렬환으로 완전히 분류된다.^[31]

7. 예

정수의 집합 $\mathbb Z$에 통상적인 덧셈과 곱셈을 부여하면 가환환이 된다. 이는 한원소 집합 위의 자유환이다.^[14]

전형적인 예는 덧셈과 곱셈의 두 연산을 갖는 정수 고리이다.^[19]

정수의 집합에서의 기본 성질
	덧셈	곱셈
연산의 폐쇄성	a + b는 정수	a × b는 정수
결합성	a + (b + c) = (a + b) + c	a × (b × c) = (a × b) × c
교환성	a + b = b + a	a × b = b × a
항등원의 존재성	a + 0 = a (영원)	a × 1 = a (단위원)
역원의 존재성	a + (−a) = 0
colspan="3"\|
분배성	a × (b + c) = (a × b) + (a × c), 및 (a + b)× c = a × c + b × c

곱셈이 교환 법칙을 만족하므로, 정수 전체는 가환환이다.^[19]

환론의 역사적 동기가 된 예로 정수나 대수적 정수의 환이 있다.^[20]
이차 정수 고리는 $\mathbb Q$의 이차 확장에서 $\mathbb Z$의 정수적 폐포이다. 이것은 모든 대수적 정수 고리의 부분 고리이다.^[19]

모든 체는 환을 이룬다.^[14] 예를 들어, 유리수의 집합 $\mathbb Q$, 실수의 집합 $\mathbb R$, 복소수의 집합 $\mathbb C$는 체이며 따라서 환을 이룬다.^[14]

유리수, 실수 및 복소수는 체라고 하는 유형의 가환 고리이다.^[19]

$n$이 양의 정수일 때, 몫환 $\mathbb Z/n\mathbb Z$는 환을 이룬다. 이 몫환은 합동 산술의 기초를 이룬다.^[14]

집합 $\mathbb Z /4\mathbb Z = \left\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}\right\}$에 다음 연산을 부여한다.^[17]

$\mathbb Z /4\mathbb Z$에서의 합 $\overline{x} + \overline{y}$는 정수 $x+y$를 4로 나눈 나머지이다 (x+y는 항상 8보다 작으므로 이 나머지는 $x+y$ 또는 $x+y-4$이다). 예를 들어, $\overline{2} + \overline{3} = \overline{1}$이고 $\overline{3} + \overline{3} = \overline{2}$이다.^[17]
$\mathbb Z /4\mathbb Z$에서의 곱 $\overline{x} \cdot \overline{y}$는 정수 $xy$를 4로 나눈 나머지이다. 예를 들어, $\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{2}$이고 $\overline{3} \cdot \overline{3} = \overline{1}$이다.^[17]

그러면 $\mathbb Z /4\mathbb Z$는 환이다. 각 공리는 $\mathbb Z$에 대한 해당 공리에서 따른다. 만약 $x$가 정수이면, $x$를 4로 나눈 나머지는 $\mathbb Z /4\mathbb Z$의 원소로 간주될 수 있으며, 이 원소는 종종 "x mod 4" 또는 $\overline x$로 표시되며, 이는 $\{0, 1, 2, 3\}$에 대한 표기법과 일치한다. $\mathbb Z /4\mathbb Z$에서 $\overline x$의 덧셈 역원은 $-\overline x=\overline{-x}$이다. 예를 들어, $-\overline{3} = \overline{-3} = \overline{1}$이다.^[17]

$\mathbb Z /4\mathbb Z$는 부분환 $\mathbb Z /2\mathbb Z$를 가지며, 만약 $p$가 소수이면, $\mathbb Z /p\mathbb Z$는 부분환을 갖지 않는다.^[17]

한원소 집합 $\{0\}$에, 연산 $0+0=0\cdot0=0$을 부여하면 환을 이룬다. 이를 자명환이라고 한다.^[14]

위상 공간 $X$ 위에 정의된 실수 연속 함수의 집합 $\mathcal C(X,\mathbb R)$은 가환환을 이룬다. 이때, 연산은 각 함수값의 덧셈과 곱셈이다. 즉, 함수 $f(x)$ 와 $g(x)$의 합과 곱은 다음과 같은 값을 갖는 함수로 정의한다.^[14]

$f+g\colon x\mapsto f(x) + g(x)$
$fg\colon x\mapsto f(x) g(x)$
실수선에서 정의된 모든 연속 실수 값 함수의 집합은 가환 $\mathbb R$-대수를 형성한다. 연산은 함수의 점별 덧셈과 곱셈이다.^[19]
$X$를 집합으로, $R$을 고리로 두면, $X$에서 $R$까지의 모든 함수의 집합은 고리를 형성하며, $R$이 가환이면 이 고리도 가환이다.^[19]

어떤 환 $R$이 주어졌을 때, 다항식환 $R[x_1,x_2,\cdots,x_n]$은 환을 이룬다. 만약 $R$가 가환환이라면 다항식환 역시 가환환이다.^[14]

가환 고리 $R$ 위의 단위 결합 대수는 자체적으로 고리이자 R-가군이다. 몇 가지 예:^[19]
* $R$의 계수를 갖는 다항식의 대수 $R[X]$.^[19]
* $R$의 계수를 갖는 형식적 멱급수의 대수 $RX_1, \dots, X_n$.^[19]

기호 $t$(변수라고 함)와 가환환 $R$이 주어지면, 다항식 집합^[18]

:$R[t] = \left\{ a_n t^n + a_{n-1} t^{n -1} + \dots + a_1 t + a_0 \mid n \ge 0, a_j \in R \right\}$

는 일반적인 덧셈과 곱셈으로 가환환을 형성하며, $R$을 부분환으로 포함한다. 이것을 $R$에 대한 다항식환이라고 한다. 더 일반적으로, 변수 $t_1, \ldots, t_n$의 모든 다항식 집합 $R\left[t_1, \ldots, t_n\right]$은 가환환을 형성하며, $R\left[t_i\right]$을 부분환으로 포함한다.^[18]

만약 $R$이 정역이면, $R[t]$ 또한 정역이며, 그 분수체는 유리 함수의 체이다. 만약 $R$이 뇌터 환이면, $R[t]$은 뇌터 환이다. 만약 $R$이 고유 인수 분해 정역이면, $R[t]$은 고유 인수 분해 정역이다. 마지막으로, $R$은 $R[t]$가 주 아이디얼 정역일 때 그리고 그 때만 체이다.^[18]

$R \subseteq S$를 가환환이라고 하자. $S$의 원소 $x$가 주어지면, 다음과 같은 환 준동형 사상을 고려할 수 있다.^[18]

:$R[t] \to S, \quad f \mapsto f(x)$

(즉, 대입). 만약 $S = R[t]$이고 $x = t$이면, $f(t) = f$이다. 이 때문에 다항식 $f$는 종종 $f(t)$로도 표기된다. 사상 $f \mapsto f(x)$의 이미지는 $R[x]$로 표기하며, 이것은 $R$과 $x$에 의해 생성된 $S$의 부분환과 같다.^[18]

예시: $k\left[t^2, t^3\right]$는 준동형 사상의 이미지를 나타낸다.^[18]

:$k[x, y] \to k[t], \, f \mapsto f\left(t^2, t^3\right).$

다시 말해, $t^2$와 $t^3$에 의해 생성된 $k[t]$의 부분 대수이다.^[18]

예시: $f$가 한 변수의 다항식, 즉 다항식환 $R$의 원소라고 하자. 그러면 $f(x+h)$는 $R[h]$의 원소이고, $f(x+h) - f(x)$는 그 환에서 $h$로 나누어진다. $(f(x+h) - f(x))/h$에 0을 $h$에 대입한 결과는 $f'(x)$인데, 이것은 $x$에서의 $f$의 도함수이다.^[18]

대입은 다항식환의 보편적인 성질의 특별한 경우이다. 이 성질은 다음과 같이 진술한다. 환 준동형 사상 $\phi: R \to S$와 $S$의 원소 $x$가 주어지면, $\overline{\phi}(t) = x$이고 $\overline{\phi}$가 $\phi$로 제한되는 유일한 환 준동형 사상 $\overline{\phi}: R[t] \to S$가 존재한다.^[18] 예를 들어, 기저를 선택하면, 대칭 대수는 보편적인 성질을 만족하므로 다항식환이다.^[18]

예를 들어, $S$를 $R$에서 자신으로 가는 모든 함수의 환이라고 하자. 덧셈과 곱셈은 함수의 연산과 같다. $x$를 항등 함수라고 하자. $R$의 각 $r$은 상수 함수를 정의하며, 이에 의해 준동형 사상 $R \to S$가 발생한다. 보편적인 성질은 이 사상이 다음과 같이 고유하게 확장된다고 말한다.^[18]

:$R[t] \to S, \quad f \mapsto \overline{f}$

($t$는 $x$로 사상됨) 여기서 $\overline{f}$는 $f$에 의해 정의된 다항 함수이다. 결과적인 사상은 $R$이 무한일 때만 단사 함수이다.^[18]

$R[t]$에서 비상수 모닉 다항식 $f$가 주어지면, $f$가 $S[t]$에서 일차 인수의 곱으로 나타나는 환 $S$가 $R$을 포함한다.^[18]

$k$를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. 힐베르트의 영점 정리 (영점 정리)는 $k\left[t_1, \ldots, t_n\right]$의 모든 소 아이디얼 집합과 $k^n$의 닫힌 부분 다양체 집합 사이에 자연스러운 일대일 대응이 존재한다고 명시한다. 특히, 대수 기하학의 많은 국소적인 문제는 다항식환의 아이디얼 생성자에 대한 연구를 통해 공격할 수 있다. (cf. 그뢰브너 기저.)^[18]

다른 관련 구성도 있다. 형식적 멱급수환 $R[\![t]\!]$는 다음과 같은 형식적 멱급수로 구성된다.^[18]

:$\sum_0^\infty a_i t^i, \quad a_i \in R$

수렴하는 급수에 대한 곱셈과 덧셈과 유사하게 작동한다. 이것은 $R[t]$을 부분환으로 포함한다. 형식적 멱급수환은 다항식환의 보편적인 성질을 갖지 않는다. 대입 후에는 급수가 수렴하지 않을 수 있다. 형식적 멱급수환이 다항식환보다 갖는 중요한 장점은 이것이 국소환이라는 것이다. (실제로, 완비환이다.)^[18]

환 $R$ 및 자연수 $n$이 주어졌을 때, $R$의 원소들의 $n\times n$ 정사각행렬의 집합 $\operatorname{Mat}(R;n)$은 행렬의 덧셈과 곱셈에 대하여 환을 이루며, 이를 행렬환이라고 한다. 일반적으로 이는 가환환이 아니다.^[14]

$F$의 체 (수학)에 속하는 2x2 정사각 행렬의 집합은^[17] 다음과 같다.

:$\operatorname{M}_2(F) = \left\{ \left.\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right|\ a, b, c, d \in F \right\}.$

행렬 덧셈과 행렬 곱셈 연산을 사용하면 $\operatorname{M}_2(F)$는 위에서 언급한 링 공리를 만족한다. 원소 $\left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$는 링의 곱셈 항등원이다. 만약 $A = \left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{smallmatrix} \right)$이고 $B = \left( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \right)$이면, $AB = \left( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \right)$인 반면 $BA = \left( \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \right)$이다. 이 예제는 링이 가환적이지 않음을 보여준다.^[17]

더 일반적으로, 가환이든 아니든 임의의 링 $R$과 임의의 음이 아닌 정수 $n$에 대해, $R$의 원소를 가지는 $n$차원 정사각 행렬은 링을 형성한다. ''행렬환''을 참조한다.^[19]

임의의 환 $R$과 임의의 자연수 $n$에 대해, $R$의 원소를 성분으로 갖는 모든 정사각 $n \times n$ 행렬의 집합은 행렬 덧셈과 행렬 곱셈을 연산으로 하여 환을 이룬다. $n=1$일 때, 이 행렬 환은 $R$ 자체와 동형이다. $n>1$일 때 (그리고 $R$이 영환이 아닐 때), 이 행렬 환은 가환적이지 않다.^[19]

$R$을 (반드시 가환일 필요는 없는) 환이라고 하자. $R$의 원소를 성분으로 하는 크기 $n$의 모든 정사각 행렬의 집합은 성분별 덧셈과 일반적인 행렬 곱셈으로 환을 이룬다. 이를 행렬환이라고 하며, $\operatorname{M}_n(R)$로 표기한다. 오른쪽 $R$-가군 $U$가 주어지면, $U$에서 자신으로 가는 모든 $R$-선형 사상의 집합은 함수 덧셈과 함수의 합성을 곱셈으로 갖는 환을 형성한다. 이를 $U$의 자기 사상환이라고 하며, $\operatorname{End}_R(U)$로 표기한다.^[18]

선형대수학에서와 같이, 행렬환은 자연스럽게 자기 사상환으로 해석될 수 있다. $\operatorname{End}_R(R^n) \simeq \operatorname{M}_n(R).$ 이것은 다음 사실의 특수한 경우이다. 만약 $f: \oplus_1^n U \to \oplus_1^n U$가 $R$-선형 사상이라면, $f$는 $S = \operatorname{End}_R(U)$의 원소 $f_{ij}$를 성분으로 하는 행렬로 표현될 수 있으며, 다음과 같은 환 동형 사상이 성립한다.^[18]

:$\operatorname{End}_R(\oplus_1^n U) \to \operatorname{M}_n(S), \quad f \mapsto (f_{ij}).$

임의의 환 준동형 사상 $R \to S$는 $\operatorname{M}_n(R) \to \operatorname{M}_n(S)$를 유도한다.^[18]

슈어의 보조정리에 따르면 $U$가 단순 오른쪽 $R$-가군이면, $\operatorname{End}_R(U)$는 나눗셈환이다.^[18] 만약 $U = \bigoplus_{i = 1}^r U_i^{\oplus m_i}$가 단순 $R$-가군 $U_i$의 $m_i$개의 복사본의 직합이라면, 다음이 성립한다.^[18]

:$\operatorname{End}_R(U) \simeq \prod_{i=1}^r \operatorname{M}_{m_i} (\operatorname{End}_R(U_i)).$

아르틴-베더번 정리는 임의의 반단순환 (아래 참조)이 이러한 형태를 가진다고 말한다.^[18]

환 $R$과 그 위의 행렬환 $\operatorname{M}_n(R)$는 모리타 동치이다. 즉, $R$의 오른쪽 가군의 범주는 $\operatorname{M}_n(R)$ 위의 오른쪽 가군의 범주와 동치이다.^[18] 특히, $R$의 양쪽 아이디얼은 $\operatorname{M}_n(R)$의 양쪽 아이디얼과 일대일 대응된다.^[18]

불 대수 $(B,\land,\lor)$ (예를 들어, 어떤 집합의 멱집합)는 다음과 같이 가환환의 구조를 줄 수 있다.^[14]

$a+b=(a\lor b)\land\lnot(a\land b)$
$ab=a\land b$
$S$가 집합이면 집합의 대칭 차이를 덧셈으로, 교집합을 곱셈으로 정의하면 $S$의 멱집합이 고리가 된다. 이것은 불 고리의 예이다.^[19]

만약 $G$가 아벨 군이라면, $G$의 자기 준동형 사상은 환, 즉 $G$의 자기 준동형 사상환 $\operatorname{End}(G)$을 이룬다. 이 환의 연산은 자기 준동형 사상의 덧셈과 합성이다. 더 일반적으로, 만약 $V$가 환 $R$ 위의 왼쪽 가군이라면, 모든 $R$-선형 사상의 집합은 환을 이루며, 자기 준동형 사상환이라고도 불리고 $\operatorname{End}_R(V)$로 표기된다.^[19]

타원 곡선의 자기 준동형 사상환. 만약 타원 곡선이 표수가 0인 체 위에서 정의된다면, 이는 가환환이다.^[19]
만약 $G$가 군이고 $R$이 환이라면, $R$ 위의 $G$의 군환은 $G$를 기저로 갖는 $R$ 위의 자유 가군이다. 곱셈은 $G$의 원소가 $R$의 원소와 교환하고, 군 $G$에서와 같이 함께 곱해진다는 규칙에 의해 정의된다.^[19]
미분 연산자 환 (문맥에 따라). 실제로, 해석학에서 나타나는 많은 환은 가환적이지 않다. 예를 들어, 대부분의 바나흐 대수는 가환적이지 않다.^[19]

프로유한 정수 고리 $\widehat{\mathbb Z}$, 모든 소수 $p$에 걸쳐 $p$-진 정수 $\mathbb Z_p$의 고리의 (무한) 곱.^[19]
헤케 고리, 헤케 연산자에 의해 생성된 고리.^[19]

8. 역사

환의 개념은 19세기 후반 다항식환과 대수적 정수 이론에서 비롯되었다.^[2] 리하르트 데데킨트가 환의 개념을 도입했으며,^[2] 1897년 다비트 힐베르트가 수체의 대수적 정수환을 다루는 동안 "수환"(Zahlring|찰링^de = Zahl|찰^de(數) + Ring|링^de(環))이라는 용어를 처음 사용했다.^[32]

아브라함 프렝켈은 1914년에^[33] 처음으로 환을 엄밀히 정의했으며, 에미 뇌터는 1921년 논문^[34]에서 가환환의 이론을 공리적으로 전개하였다.

19세기 독일어에서 "Ring"은 "협회"를 의미할 수 있었으며(예: 스파이 링), 오늘날 영어에서도 제한적인 의미로 사용되고 있다.^[32] 하비 콘에 따르면, 힐베르트는 "자신으로 직접 순환하는" 속성(동치 관계의 의미에서)을 가진 링에 이 용어를 사용했다.^[32] 구체적으로, 대수적 정수 링에서 대수적 정수의 모든 높은 거듭제곱은 고정된 하위 거듭제곱 집합의 정수 선형 결합으로 표현될 수 있으며, 따라서 거듭제곱은 "순환"한다.

환에 대한 최초의 공리적 정의는 1915년 아돌프 프렌켈에 의해 주어졌지만, 그의 공리는 현대적 정의보다 더 엄격했다. 예를 들어 그는 모든 영인자가 아닌 수가 곱셈 역원을 갖도록 요구했다. 1921년 에미 뇌터는 가환환(1을 포함하거나 포함하지 않는)에 대한 현대적인 공리적 정의를 제시하고 논문 "Ringbereichen의 Idealtheorie"에서 가환환 이론의 기초를 개발했다.

9. 확장

대수학자들은 환의 공리 중 일부를 약화시키거나 제거하여 환보다 더 일반적인 구조를 정의했다.

비결합환은 결합 법칙과 곱셈 항등원의 존재를 제외한 모든 환 공리를 만족하는 대수 구조이다. 주목할 만한 예로는 리 대수가 있다.^[4] 이러한 대수에 대한 일부 구조 이론은 리 대수 및 결합 대수에 대한 유사한 결과를 일반화한다.

반환(때로는 'rig')은 가 가환군이라는 가정을 약화시켜 가 가환 모노이드라고 가정하고, 모든 in 에 대해 이라는 공리를 추가하여 얻어진다.

예시:

일반적인 덧셈과 곱셈을 갖는 0 이상의 정수 $\{0, 1, 2, \ldots\}$
열대 반환.

10. 같이 보기

위상환: 환의 덧셈과 곱셈 연산이 연속 함수인 위상을 갖춘 환이다. 예를 들어, 실수 위의 n × n 행렬은 유클리드 위상 또는 자리스키 위상을 가질 수 있으며, 이 경우 위상환이 된다.^[1]
λ-환(람다 환): n번째 외대수와 같은 연산 λⁿ을 갖는 가환환이다. 리만-로흐 정리에 대한 대수적 접근에 중요한 역할을 한다.^[1]
전순서환: 환 연산과 호환되는 전순서를 갖는 환이다.^[1]
코호몰로지 환: 위상 공간에 대응되는 환으로, 파이버 다발의 특성류, 대수적 다양체의 교차 이론, 슈베르트 미적분 등에 대한 기반을 제공한다.^[1]
번사이드 환: 군의 작용을 나타내는 환으로, 표현환과 밀접한 관련이 있다.^[1]
표현환: 군환이나 호프 대수에 대응되는 환으로, 지표 이론의 지표환과 관련된다.^[1]

참조

_[1] 웹사이트 Non-associative rings and algebras https://www.encyclop[...]
_[2] 웹사이트 The development of Ring Theory https://mathshistory[...]
_[3] 웹사이트 Associative rings and algebras https://www.encyclop[...]
_[4] 문서 Serre, p. 44
_[5] 문서 乗法に関しては[[半群]]となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。[[#定義に関する注意]]を参照
_[6] Harvard citations
_[7] Harvard citations
_[8] 문서 二項演算の定義に演算の閉性を含める場合も多く、その場合二項演算であるといった時点で閉性も出るから、特に断らないことも多い。
_[9] 문서 自明環の意味で「零環」という語を用いることもあるが、零環は一般に「任意の積が 0 に潰れている（擬）環」の意味でも用いるので、ここでは明確化のために自明環を零環と呼ぶのは避けておく。
_[10] 서적 Topics in Algebra Wiley 1975-06-20
_[11] 서적 Contemporary Abstract Algebra Houghton Mifflin 2008-04-13
_[12] 서적 The Theory of Rings The MacMillian Company 2009-05-02
_[13] 서적 Introduction to Foundations of Mathematics John Wiley and Sons 2008-12-21
_[14] 웹사이트 The development of Ring Theory http://www-gap.dcs.s[...]
_[15] 서적 Advanced Number Theory Dover Publications
_[16] 문서 Jacobson (2009), p. 86, footnote 1.
_[17] 저널 Classification of finite rings of order {{math|''p''{{sup|2}}}}
_[18] Harvard citations
_[19] Harvard citations
_[20] 문서 文献によっては、可換性まで環の公理に含めて、単に環といえば可換環のことを指しているという場合がある。
_[21] 문서 Jacobson (2009), p.162, Theorem 3.2.
_[22] 서적 Algebra Springer 2002
_[23] 서적 Algebra. Volume 1 John Wiley & Sons 1982
_[24] 서적 Abstract algebra http://www.wiley.com[...] Wiley 2004
_[25] 서적 Abstract algebra Springer 2007
_[26] 웹인용 Some characterizations of ring epimorphisms http://www.math.umn.[...]
_[27] 저널 Classification of finite rings of order $p^2$ https://www.maa.org/[...] 1993-10
_[28] 서적 Infinite Abelian groups, volume 2
_[29] 서적 A course in universal algebra http://www.thoralf.u[...] Springer 1981
_[30] 서적 Lattice theory: foundation Springer 2011
_[31] 서적 A first course in noncommutative rings Springer 2001
_[32] 저널 Die Theorie der algebraischen Zahlkörper 1897
_[33] 저널 Über die Teiler der Null und die Zerlegung von Ringen http://resolver.sub.[...] 1914
_[34] 저널 Idealtheorie in Ringbereichen https://web.archive.[...] 2015-04-16

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